Probabilités, statistiques et propagation des incertitudes
Ce cours développe une compétence qui manquait encore au tronc commun. Il part des concepts, donne les unités et les calculs nécessaires, puis relie chaque méthode à des décisions d’ingénierie réelles pour Mars.
Objectifs de maîtrise
- expliquer les grandeurs, unités et hypothèses
- refaire au moins un calcul à la main
- identifier incertitudes, limites et modes de panne
- transformer le résultat en décision pour une architecture Mars
1. Pourquoi une mission spatiale raisonne en distributions
Une valeur unique masque souvent le risque. Masse, poussée, densité atmosphérique, erreur de navigation ou durée de vie possèdent une dispersion. On distingue une valeur moyenne, un écart-type et parfois une distribution complète. Une architecture robuste ne demande pas seulement « quelle est la valeur attendue ? », mais « quelle plage de résultats reste compatible avec la mission ? ».
Si une masse est estimée à 100 kg avec une incertitude-type de 3 kg, écrire 100,000 kg serait une fausse précision. L’incertitude décrit la qualité de la connaissance, pas la résolution de l’écran.
Réflexe d’ingénierie. Identifier ce qui est mesuré, ce qui est supposé, ce qui est calculé et ce qui ferait changer la décision.
2. Moyenne, variance et écart-type
Pour des mesures xᵢ, la moyenne arithmétique est x̄ = (Σxᵢ)/n. La variance mesure la dispersion autour de cette moyenne ; l’écart-type σ est la racine carrée de la variance et s’exprime dans la même unité que la grandeur.
Exemple : cinq mesures de débit valent 9,8 ; 10,1 ; 10,0 ; 10,2 ; 9,9 g/s. La moyenne vaut 10,0 g/s. L’écart autour de cette moyenne est faible ; annoncer « environ 10 g/s » décrit mieux la réalité que sélectionner la mesure 10,2 comme représentative.
Réflexe d’ingénierie. Identifier ce qui est mesuré, ce qui est supposé, ce qui est calculé et ce qui ferait changer la décision.
3. Propager une incertitude
Lorsqu’une sortie y dépend de plusieurs entrées, l’incertitude finale dépend de la sensibilité de y à chacune d’elles. Pour y = a×b, une première approximation consiste à combiner les incertitudes relatives lorsque les variables sont indépendantes. Les corrélations changent le résultat : deux erreurs liées ne peuvent pas être additionnées comme si elles étaient indépendantes.
Cette distinction est cruciale pour Mars. Deux capteurs provenant de la même calibration peuvent partager le même biais. Les compter comme deux confirmations indépendantes donnerait une confiance artificielle.
Réflexe d’ingénierie. Identifier ce qui est mesuré, ce qui est supposé, ce qui est calculé et ce qui ferait changer la décision.
4. Monte-Carlo : simuler des milliers de missions possibles
Une simulation Monte-Carlo tire de nombreuses valeurs d’entrée selon leurs distributions, calcule la sortie à chaque tirage puis observe la distribution des résultats. Elle n’efface pas l’incertitude ; elle la rend visible.
Si un atterrisseur possède cinq paramètres incertains, un calcul nominal n’explore qu’un point. Dix mille tirages permettent d’estimer la fréquence des cas qui dépassent une limite thermique, une réserve de propergol ou une dispersion de site.
Réflexe d’ingénierie. Identifier ce qui est mesuré, ce qui est supposé, ce qui est calculé et ce qui ferait changer la décision.
5. Probabilité conditionnelle et diagnostic
Un signal n’a pas la même signification avant et après une observation. La probabilité conditionnelle formalise cette mise à jour. En diagnostic de panne, une alarme peut être fréquente mais peu spécifique ; un deuxième indicateur indépendant peut fortement changer la probabilité qu’un défaut soit réel.
Le raisonnement bayésien ne remplace pas les essais. Il aide à hiérarchiser des hypothèses lorsque l’information est incomplète, situation normale pendant une anomalie lointaine de plusieurs minutes-lumière de la Terre.
Réflexe d’ingénierie. Identifier ce qui est mesuré, ce qui est supposé, ce qui est calculé et ce qui ferait changer la décision.
Exemple calculé pas à pas
Construire un cas nominal puis une variante dégradée. Écrire d’abord les données avec leurs unités, convertir vers un système cohérent, effectuer le calcul, puis traduire le résultat en phrase. Enfin, faire varier le paramètre le plus incertain de ±20 % et vérifier si la décision change.
Exercice progressif
- Choisir un sous-système martien et lister cinq entrées.
- Classer chaque entrée : mesurée, sourcée, hypothèse ou calculée.
- Calculer le cas nominal.
- Injecter une incertitude ou une panne.
- Décider : continuer, dégrader, arrêter ou reconfigurer.
Solution raisonnée
La bonne solution montre les unités, la logique, la sensibilité et la décision. Un résultat numérique sans traduction physique n’est pas une solution complète.
Mini-projet de validation
Produire une note de trois à cinq pages avec besoin, hypothèses, schéma, calcul, incertitudes, panne injectée, critère de décision et au moins trois sources primaires.