Boussole du cours
Question directrice : Que signifient réellement une fraction, un ratio et une proportion avant toute formule ?
Repères : 📏 MESURÉ · 📐 CONVENTION · 🧮 CALCULÉ · 🎓 HYPOTHÈSE PÉDAGOGIQUE · ⚠️ APPROXIMATION
- comprendre la notion
- faire un calcul simple
- expliquer chaque symbole
- vérifier un résultat
1 — Avant les symboles : comprendre ce que l’on partage
Une fraction, un ratio ou une proportion n’est pas d’abord une formule. C’est une manière de répondre à une question très concrète : comment une quantité totale est-elle répartie, comparée ou agrandie ?
Avant de calculer, nommons toujours les objets. Dire « 3 sur 4 » ne suffit pas. Trois quoi sur quatre quoi ? Trois réservoirs pleins sur quatre réservoirs ? Trois kilogrammes d’eau sur quatre kilogrammes de mélange ? Trois heures de fonctionnement sur quatre heures disponibles ? Le contexte donne son sens au nombre.
Le mot « part »
Dans ce cours, une part est un morceau égal d’un total que l’on découpe mentalement pour le répartir. Une part n’est pas forcément un objet réel : c’est une unité de partage.
Exemple : si 8 kg sont répartis en 4 parts égales, une part vaut 8 ÷ 4 = 2 kg.
2 — Une fraction décrit une partie d’un tout
La fraction 3/4 se lit « trois quarts ». Elle signifie : trois parts prises parmi quatre parts égales.
La barre de fraction signifie aussi une division. Ainsi 3/4 = 3 ÷ 4 = 0,75. Comme 0,75 correspond à 75 %, on peut écrire 3/4 = 0,75 = 75 %.
Exemple concret — Trois batteries disponibles sur quatre
Une base martienne possède 4 batteries identiques. Trois fonctionnent et une est en maintenance. La fraction des batteries disponibles est donc 3/4.
Pour obtenir la part décimale : 3 ÷ 4 = 0,75.
Pour obtenir le pourcentage : 0,75 × 100 = 75 %.
Traduction en français courant : 75 % des batteries sont disponibles.
3 — Un ratio compare deux quantités
Le ratio 3:1 se lit « trois pour un ». Le symbole : se lit ici « pour ». Il indique que, lorsque la première quantité reçoit trois parts égales, la seconde en reçoit une.
Important : 3:1 ne signifie pas automatiquement « 3 kg contre 1 kg ». Le ratio donne une relation. Il faut connaître un total ou l’une des deux quantités pour obtenir des valeurs réelles.
Exemple maître — Un ordinateur martien et sa coque de protection
Nous devons envoyer vers Mars un ensemble informatique de 8 kg au total. Ces 8 kg comprennent l’ordinateur et sa coque de protection.
Nous choisissons, pour cet exercice pédagogique, le ratio ordinateur : protection = 3:1.
Étape 1 — Compter les parts. L’ordinateur reçoit 3 parts et la protection 1 part. Total : 3 + 1 = 4 parts.
Pourquoi additionner ? Parce que nous cherchons combien de parts égales composent les 8 kg au total.
Étape 2 — Trouver une part. 8 kg ÷ 4 = 2 kg.
Pourquoi diviser par 4 ? Parce que les 8 kg sont répartis en quatre parts égales.
Étape 3 — Masse de l’ordinateur. 3 × 2 kg = 6 kg.
Pourquoi multiplier par 3 ? Parce que l’ordinateur reçoit trois parts.
Étape 4 — Masse de la protection. 1 × 2 kg = 2 kg.
Vérification. 6 kg + 2 kg = 8 kg. Nous retrouvons le total de départ.
Résultat traduit : l’ordinateur pèse 6 kg et sa protection 2 kg dans cet exemple.
Calculatrice — refaire le calcul soi-même
1. Tapez 8 ÷ 4 = : l’écran affiche 2. 2. Tapez 3 × 2 = : l’écran affiche 6. 3. Vérifiez avec 6 + 2 = : l’écran affiche 8.
4 — La proportionnalité permet de changer d’échelle
Une relation est proportionnelle lorsque multiplier une quantité par un nombre multiplie l’autre quantité par le même nombre. La condition essentielle est que la « quantité par unité » reste constante.
Exemple concret — Bouteilles d’oxygène identiques
Nous possédons 4 bouteilles identiques. Chacune contient 5 kg d’oxygène.
Avec 4 bouteilles : 4 × 5 kg = 20 kg d’oxygène.
Avec 7 bouteilles identiques : 7 × 5 kg = 35 kg d’oxygène.
Pourquoi multiplier ? Parce que chaque bouteille apporte toujours la même masse d’oxygène : 5 kg.
La relation est proportionnelle seulement parce que les bouteilles sont identiques et remplies de la même manière.
Contre-exemple — Une bouteille à moitié vide
Si l’une des bouteilles ne contient que 2,5 kg au lieu de 5 kg, nous ne pouvons plus écrire automatiquement « nombre de bouteilles × 5 kg ». La règle simple est cassée parce que toutes les bouteilles n’apportent plus la même quantité.
5 — Les rapports avec des unités se lisent à voix haute
Certaines comparaisons utilisent deux grandeurs différentes. Elles produisent des unités comme kg/s, N/kg ou W/m².
- kg/s se lit « kilogrammes par seconde » : masse qui passe ou est consommée pendant une seconde ;
- N/kg se lit « newtons par kilogramme » : force exercée pour chaque kilogramme ;
- W/m² se lit « watts par mètre carré » : puissance reçue ou fournie par unité de surface.
Le mot par est essentiel : il indique que l’on rapporte une quantité à une autre.
Trois exemples complets : comprendre avant d’abréger
Exemple A — Répartir 12 litres d’eau selon 2:1
Deux réservoirs doivent recevoir ensemble 12 L d’eau selon le ratio 2:1.
Parts totales : 2 + 1 = 3. Valeur d’une part : 12 ÷ 3 = 4 L.
Premier réservoir : 2 × 4 = 8 L. Second réservoir : 1 × 4 = 4 L.
Vérification : 8 + 4 = 12 L.
Exemple B — Répartir 20 kg de matériel selon 3:2
Total des parts : 3 + 2 = 5. Une part : 20 ÷ 5 = 4 kg.
Première caisse : 3 × 4 = 12 kg. Seconde caisse : 2 × 4 = 8 kg.
Vérification : 12 + 8 = 20 kg.
Exemple C — Sept bouteilles d’oxygène
Chaque bouteille contient 5 kg d’oxygène. Pour 7 bouteilles : 7 × 5 = 35 kg.
Si l’on double le nombre de bouteilles de 7 à 14, la masse double aussi : 14 × 5 = 70 kg. C’est précisément ce que signifie la proportionnalité.
6 — Passage à l’abstraction : seulement maintenant
Une fois l’idée comprise, on peut raccourcir l’écriture. Au lieu de répéter « ordinateur » et « protection », on peut appeler les deux masses A et B et écrire A:B = 3:1.
Si le total vaut T, le nombre total de parts vaut 3 + 1 = 4. Une part vaut donc T/4. Alors A = 3T/4 et B = T/4.
Cette écriture est plus compacte, mais elle n’apporte rien si l’on ne sait pas déjà ce que représentent A, B, T et les quatre parts.
Pièges fréquents et contrôles
- Confondre ratio et valeurs réelles : 3:1 n’implique pas 3 kg et 1 kg.
- Faire une règle de trois alors que la relation n’est pas proportionnelle.
- Oublier de nommer les unités et les objets.
- Accepter un résultat sans vérifier que les parts recomposent bien le total.
Contrôle simple : revenez toujours à la phrase française. Si vous ne pouvez pas expliquer ce que signifie le résultat sans symbole, le calcul n’est pas encore vraiment compris.
Exercices et corrigés
Exercice 1 — Ratio 4:1
Un ensemble de 25 kg est réparti selon 4:1. Trouvez les deux masses.
Exercice 2 — Proportion
Une cartouche identique contient 3 kg d’un consommable. Quelle masse apportent 8 cartouches ?
Exercice 3 — Vérification
Dans un ratio 2:3 appliqué à un total de 30 kg, un élève annonce 18 kg et 12 kg. Le total est correct. Le ratio est-il respecté ?