AM-01.10 — Exponentielle et logarithme naturel : comprendre la multiplication répétée et son inverse

1 — Une exponentielle : quand la quantité se multiplie au lieu d’ajouter toujours la même chose

Si une réserve gagne exactement 10 kg chaque heure, sa croissance est régulière : +10, +10, +10. Une croissance exponentielle fonctionne autrement : la variation dépend de la quantité déjà présente. Une culture de micro-organismes qui double périodiquement passe par exemple de 1 à 2, puis 4, puis 8, puis 16 unités.

Le mot « exponentielle » vient du fait que le temps ou le nombre d’étapes apparaît dans un exposant, c’est-à-dire le petit nombre placé en hauteur dans une puissance.

2 — Que signifie eˣ et comment cela se prononce ?

eˣ se lit « e puissance x ». La lettre e désigne un nombre particulier, environ 2,71828, qui apparaît naturellement lorsque l’on décrit des variations continues.

Pour débuter, il n’est pas nécessaire de mémoriser ses décimales. Il faut comprendre que eˣ transforme un exposant x en un facteur multiplicatif.

3 — Le logarithme naturel : la question inverse

Supposons maintenant que nous connaissions le facteur final et que nous cherchions l’exposant qui l’a produit. Le logarithme naturel, noté ln, fait précisément ce travail.

ln se prononce généralement « logarithme naturel » ; on entend aussi « elle-enne ».

Cette phrase se lit : « si e puissance x égale N, alors x égale le logarithme naturel de N ».

4 — Exemple concret n°1 : combien de doublements pour atteindre une quantité ?

Une culture utile commence avec une quantité arbitraire 1. Elle double à chaque étape : 1 → 2 → 4 → 8.

Pour atteindre 8, nous observons directement qu’il faut 3 doublements, car 2³ = 8.

Avec un logarithme, on peut retrouver l’exposant : x = ln(8) ÷ ln(2) ≈ 2,079 ÷ 0,693 ≈ 3.

5 — Exemple concret n°2 : pourquoi un logarithme apparaît dans l’équation de la fusée

Dans l’équation idéale de Tsiolkovski, une partie du calcul utilise le rapport entre la masse initiale m₀ et la masse finale m₁ :

Δv se lit « delta vé » et représente ici un changement de vitesse. vₑ se lit « vé e » et désigne la vitesse effective d’éjection dans ce modèle simplifié.

Si m₀/m₁ = 2, alors ln(2) ≈ 0,693. Si le rapport de masses double encore et devient 4, ln(4) ≈ 1,386 : il a doublé, car 4 = 2².

L’idée importante est que le bénéfice ne croît pas proportionnellement au rapport de masses. Ajouter toujours plus de propergol donne des gains de plus en plus coûteux en masse.

6 — Pourquoi l’intérieur de ln doit-il être sans unité ?

Dans ln(m₀/m₁), m₀ et m₁ sont toutes deux des masses. Si elles sont exprimées dans la même unité, par exemple en kilogrammes, les unités se simplifient : kg/kg = 1. Il reste un rapport sans unité.

On ne devrait pas écrire ln(500 kg) comme si « 500 kg » était un simple nombre abstrait. Le logarithme s’applique à un rapport ou à une quantité rendue sans dimension par rapport à une référence.

7 — Sur une calculatrice : ln, eˣ et erreurs fréquentes

Pour calculer ln(2), tapez 2 puis la touche ln selon l’ordre de votre calculatrice. Vous devez obtenir environ 0,693.

Pour vérifier le chemin inverse, calculez e^0,693 : vous retrouvez environ 2.

8 — Trois images mentales pour retenir

• Exponentielle : « si j’avance de x étapes, par quel facteur la quantité est-elle multipliée ? »
• Logarithme : « je connais le facteur final ; quel exposant a fallu pour l’obtenir ? »
• Dans une fusée : « quel effet produit un rapport de masses dans un modèle où chaque kilogramme de propergol embarqué doit lui-même être accéléré ? »

Exercices corrigés